线性规划例题的意境创设

东昌中学    郑燕红

新的《上海市中小学数学课程标准》体现了数学课程的新理念、新设计、新方法，它要求数学教师不再仅仅是一个课程的忠实的传递者，而应该成为课程的创设者和开发者^[1]。上海市二期课改实验教材理科增设了《线性规划》一章，既突出了数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥着越来越大的作用的实用价值，又为课程的创设和开发构建了一个实用平台。本文在线性规划的教学中，面向生活，结合实际，创设了一组例题，以求拓展了学生的视野，增强学生的数学素养（认知与知识积累融会贯通）、信息素养（教学知识紧扣时代脉搏）和创新素养（研究与学习渗透互补）。

例1：学校有线网络同时提供A、B两套校本选修课程。A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分。全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容。学校规定学生每学期收看选修课不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟。两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？

分析：线性规划问题应根据实际情况作具体分析，特别注意求整性、可解性和选择性。

解：设选择A、B两套课程分别为X、Y次，z为学分，则

      图示:

目标函数  

由方程组解得点A(15,25)  ,  B(25,12.5)

由于目标函数的斜率与直线AB的斜率相等，因此在图中阴影线段AB上的整数点A（15，25）、C（19，20）、D（23，15）都符合题意，使得学分最高为175分。但学生可根据自己的经验和要求选择一个最佳的点。例如，学生需要最省时就可以选择点A(15，25)。

启示：目前各中学都开设了多门校本课程，供学生自由选择，以丰富学生的知识和拓展以人为本的个性发展。意境与生活密切相关，极易调动学习兴趣和热情，本创意刻意贴近学生的学习生活，使学生懂得“科学” 无处不在，并借此引伸线性规划数学理论的重要学术地位和实用价值。本题体现了线性规划问题中的两种特殊情形：一是最优解是多边形的一条边，并不是常规问题中多边形的顶点。二是整数解，求整数解在线性规划中是一个难点，教材中的图解法是一种直观有效的方法，但还可以根据目标函数的特征，利用二元一次不定方程的知识进行有效、准确的求解。后者有时更简捷、更易懂，更具有可操作性。通过展示求整性、可解性和根据实际情况的选择性等相关知识，构建线性规划知识的完整框架。

例2：海湾战争，美军两支部队从不同驻地到某攻击点会师，实行合围，其运动时间可能需要5至6小时。伊军一旦发现情况后只需20分钟集结就会遁逸。全歼伊军胜算的概率有多少？

分析：只有合围后伊军才无法遁逸而被全歼，实际上是求两支部队会师的概率，本题能另辟蹊径，利用线性规划的解题方法给出了直观、简洁的解答。

解：以x、y分别表示两支部队到达攻击点的时刻，则两支部队能在伊军逃走前会师的充要条件为

                图示：

在直角坐标系中画出x、y的可行域，如图阴影部分所示，显然两支部队可能在伊军逃走前会师的时间为图中边长等于60的正方形内的点（包括边界），两支部队能在伊军逃走前会师的机会为图中阴影部分，从而可得到所求的概率为

启示：本题以时事为背景，意境启示：线性规划的应用不仅渗透到社会活动的各个层面，也包括军事、战争。它能给决策者提供科学选择依据，在战争中减少伤亡和降低消耗，提高胜算的概率。线性规划是函数、不等式、解析几何、概率等多种数学知识的综合，通过线性规划的学习贯通学科知识的分支网络，关注交汇点和课外知识的渗透融合，增强对学科知识的整体把握。

例3：居民点A与仓库B相距1千米，位于河岸同一侧。河岸是直线段，与A距离0.5千米，与B距离1.1千米。一天恰逢自来水管检修，仓库着火，A地居民迅速提水桶到河边取水去B处救火。一般情况下人奔跑速度约10千米/小时，提水负重时奔跑为徒手时速的三分之二。请给出救火的最佳途径。

分析：本题是一道解析几何应用题，常规问题是求距离之和的最小值，极易形成思维定势。而本题所求的是取水时间最少的路线，而不是最短的路线，这正是本题的妙处所在。取水有首次A和其后的B两个出发点，因而有两条取水最快的路线（见图）。关键是确定首次取水的地点P的位置，其后的取水路线是不言而喻是BB^, 。

解：设P为OB’上的任一点，AP=x，BP=Y ，由图1，则有：

速度千米/小时 ，  千米/小时

设目标函数时间   ， 根据题意计算得到约束条件：

在这些线性约束条件下，变量x，y还满足函数：    当目标函数t与函数y(x)的图像在可行域内 相切时，即将t代入后令△=0；或求y的导函数，令导函数等于目标函数的斜率-2/3；也可以通过几何画板作图直接计算，可得 切点（0.61，1.19）使得t取得最小值，最小值为0.24小时。当X=0.61时，op=0.35 由此可以得出最佳取水地点为p（0.35，0）。

启示：本题是一道非纯线性规划题，题设中的两个变量除了满足线性函数外，还满足一个二元方程，是融线性规划和解析几何为一体的综合题。通过对本问题的分析，籍以提高学生分析、研究和借助现代数学教学工具解决实际问题的意识和能力。这是一道结构非常新颖的研究性题型，通过初始条件变换，能产生不同的意境效果。例如，（1）在河岸边取点，修建A、B共用的货运码头；(2)在岸边选点建自来水厂， 铺设到A、B的供水管道。还可以提出不同的设问和条件，如A，B两处是否可以共用水管等，创设多种质疑的触点和思维引申的空间，充分调动学生积极思考问题、提出问题、研究问题、解决问题的学习能动性，在活动中掌握知识和增长才干。教学过程因此而变得生动和丰富多彩。

例4：一架飞机可装货500吨，装载容积200立方米，现有6件货物待运，为获利最高如何确定运输方案，其体积、重量和运输利润如下表：

分析：本例中飞机的限制条件是载重量和容积，对于6种型号的货物，通过计算和实验，得出合理的组装方式，以获取最高的利润。

解：在一次飞行中，设

 1表示运编号为运的货物，0表示不运。

依题意有

设利润函数 

由方程（2）可见，最多只可装三件货物。而获利较大的货物一次是3号、2号、5号、4号、1号、6号，经过观察和计算装3号、2号、5号货物的总体积不超过200立方米，总重量不超过500吨，所获得最高利润为210万元。

启示：在商战领域中，除了捕捉适时的商机外还需进行科学的预测计算，以求得最大的经济效益。解答此题除了利用线性规划的解法外，还可事先准备好有6种不同颜色的正方形积木，在4个面上标记：编号、体积、重量和运输利润，通过积木堆积实验进行解题演示。用实验方法破解数学问题，有时候比纯粹推理更简捷、直观，既能激发学习兴趣和灵感，又引入一种数学解题新方式——实验法。这是一道多元变量题，籍此可推出线性规划的一般形式，以扩展学生的视野，为今后的继续学习奠定基础。

思考

随着强有力的算法和计算机技术的发展与应用，线性规划应用已渗透到社会生活的各个层面，经济上能直接创造巨额财富，军事上催生重大的战略战术变革，甚至对人类文明的进程产生直接的影响。美国军方在海湾战争期间，就曾利用线性规划，有效地解决了部队给养和调运问题，对促进战争的胜利起了关键的作用，因此， 有人称“海湾战争”是“数学的战争”^[2]。反之，线性规划的普遍应用极大地丰富了数学背景素材，提供了一个贴切生活的广阔创意平台。

好的意境题材应有以下特点：

有利于培养学生阅读能力：问题意境应该包容学生现实生活的多个方面，通过建模解题的推理和关联等数学活动，使学生了解生活、拓宽视野、体会意境、甑别是非、理解问题的本质，增添阅读需要的社会知识和专业技能。

有利于培养学生数学能力：数学建模是进行科学研究必具的数学能力，数学建模是线性规划教学的重点和难点。建立恰当的数学模型，需要善于提取问题的数学内核，并与相应的数学理论关联。好的意境的创立为数学建模提供了典型的思维范例。

有利于知识的迁移和渗透：数学知识有许多重要分支，只有注意和研究知识网络的交汇点，才能增强我们对学科知识的整体把握。数学知识的掌握，不全是教出来的，而是自己做出来的。破解高度概括的创意问题的过程是一个学数学、用数学、做数学的过程，正如陈省身大师所说的“玩数学”的过程。好的意境是理论与现实的纽带，是科学和生活的交点，是学和用的同一载体，是学习和娱乐的统一形式。

有利于先进性思想教育：线性规划问题普遍存在于我们的周围和日常生活之中，创设好的问题意境（例如，搜集数据解决人们关心的问题），引领学生对生活、生产中问题的关注，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。研究好的数学探究性题材的过程，包含了合作学习、自主学习和探究性学习的诸多因素，寓潜移默化于其中，培养学生热爱生活、团队合作、关心社会、服务社会的良好品德。

上述的举例印证和说明：创意优秀的例题应具有高度的概括性、典型性、包容性、研究性和引导性。只有涵盖面广、立意新颖、独特视角、解析清新的数学问题才是知识传播、智慧启迪、思想教育的重要载体。因此，教学时教师应寻找知识的源头和它发展史，广泛搜集素材，驾驭基本理论，创设匠心独到的例题，努力做到“题不惊人思不休”。

参考文献

1.         《上海市中小学数学课程标准》2004年人民教育出版社

2.         Blog：「线性规划」带来巨额财富  http://blog.csdn.net/zdg/   2004-8-20